Un millón de dólares y una plaza en el olimpo de las matemáticas para quien resuelva estos problemas

Dinero dólares

La hipótesis de Riemann. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Las ecuaciones de Navier-Stokes. El dilema P versus NP. La existencia de Yang-Mills y del salto de masa. La conjetura de Hodge. ¿Qué tienen en común esta retahíla de enunciados matemáticos?

Que nadie sabe como resolverlos, mucha gente lo ha deseando sin triunfo y conseguirlo implica vencer un millón de dólares (más de 810.000 euros). Así son los famosos como problemas del milenio, una serie de retos que llevan mucho tiempo aguardando a que alguien encuentre la clave millonaria de su resolución.

Fue en el año 2000, Año Mundial de las Matemáticas, cuando el Instituto Clay de Matemáticas (EE. UU.) seleccionó los 7 resultados que, a su juicio, despuntaban por dificultad y relevancia. Su dimensión esta muy lejos de ser trivial, así que, como premio para animar a los investigadores, se estableció esa cuantiosa suma. Por si fuera poco, el genio que lo logre además gana de forma automatica la Medalla Fields, que concede la Unión Matemática Internacional a falta de un Nobel de la disciplina que premie méritos matemáticos.

Perelman Grigori Perelman no quiso aceptar el millón de dolares ni la Medalla Fields que le correspondían tras resolver uno de los problemas del milenio.

En estos 18 años, solo uno de estos retos ha sido resuelto: en 2003, el matemático ruso Grigori Perelman hizo que la conjetura de Poincaré, relacionada con la clasificación de esferas de mas de 3 dimensiones, dejara de ser conjetura para convertirse en teorema, en una verdad universal. Perelman no aceptó ninguno de los dos premios, sorprendiendo a toda la sociedad matemática.

Pero ¿qué es lo que hace tan atrayentes a estos enunciados? ¿Qué implicaría su resolución? Y la pregunta del millón: ¿por qué son tan difíciles de demostrar? Estos son los 6 problemas que permanecen sin resolver explicados por 6 expertos.

El santo grial de las matemáticas: la hipótesis de Riemann (1859)

“Al enorme matemático alemán David Hilbert una vez le preguntaron si la hipótesis de Riemann era el dilema mas significativo de las matemáticas; él contestó que no, que era el dilema mas significativo en general”. El catedrático de la Universidad de Murcia Víctor Jiménez recuerda esta anécdota para ilustrar la trascendencia casi sobrenatural de este efecto vinculado con los números primos, que Hilbert incluyó en su serie de los 23 problemas mas fundamentales para el siglo XX durante su reunion en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París (Francia).

“Si este efecto fuera verdad, sería como una especie de Himalaya de la belleza matemática; si no, nos sentiríamos casi traicionados”

Un número primo es aquel que solo puede dividirse por él mismo y por el uno; por ejemplo, el 13, el 73 y el 9419. Se utilizan en multitud de aplicaciones, como en protección para codificar información. El dilema es que no hay ninguna pauta reconocible que los gobierne. “Son como los átomos de los que se componen los números, sin embargo no tienen una tabla periódica en la que estén ordenados. Todos los enormes matemáticos han estado enredados con ellos sin embargo nadie ha hallado una fórmula, si es que existe, para generarlos”, especifica Jiménez.

Bernard Riemann Fue el matemático alemán Bernhard Riemann quien, de alguna manera, introdujo un orden dentro de ese aparente caos. “Definió lo que ahora llamamos la función zeta de Riemann y estudió sus ceros (donde la función se anula). Descubrió una maravillosa correspondencia entre esos ceros y los números primos”, expone Jiménez. Una conexión demasiado técnica: rigurosamente, lo que Riemann conjeturó fue que la parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½.

Muchos han deseando probar esta conjetura sin éxito. Quien mas cerca ha estado es Xavier Gourdon, que en 2004 la verificó numéricamente para los primeros 10 trillones de ceros no triviales de la función. Pero la función tiene infinitos ceros, así que para demostrarla se solicita de un argumento teórico.

Más allá de su app práctica, Jiménez tiene clara su relevancia: “Los que amamos las matemáticas admiramos su armonía y perfección, además de su utilidad. Si este efecto fuera verdad, sería como una especie de Himalaya de la belleza; si no, nos sentiríamos casi traicionados. La hipótesis de Riemann es vuestro santo grial”.

Una idea revolucionaria: la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (1965)

Las curvas elípticas son un tipo de función matemática que tiene dos variables y grado 3. Tienen varias aplicaciones en criptografía, teoría de códigos e informática, sin embargo la estructura de sus respuestas (los pares de valores x e y que verifican la ecuación) continua siendo una suposición.

Curva elíptica Ejemplo de dos curvas elípticas y su representación gráfica.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer da una receta para comprender la geometría de dos puntos de esa curva en terminos de una cierta función analítica compleja”, expone el profesor de la Universidad Politécnica de Cataluña Víctor Rotger.

Su dificultad reside en que establece una conexión entre dos ramas de las matemáticas muy diferentes que hablan idiomas diferentes: el álgebra y el análisis. “La conjetura es muy atrayente a nivel matemático porque, si se pudiera demostrar, tendería un misterioso puente entre dos mundos supuestamente muy alejados: el de la geometría aritmética y el de las características complejas analíticas. Para los matemáticos es como mencionar que una pera es una manzana. ¿Cómo relacionas una cosa con la otra?”, se pregunta Rotger. “Hace falta una idea revolucionaria”.

De momento, el medallista Fields Manjul Bhargava ha comprobado que hay mas de un 50% de las curvas elípticas para las cuales es cierto. “Nadie desconfianza de que sea verdadera, sin embargo estamos lejos de demostrarlo. Sería un avance espectacular”, afirma Rotger.

Fluidos y torbellinos: las ecuaciones de Navier-Stokes (siglo XIX)

¿Podemos prever como se va a propagar un fuego? ¿Si lloverá o no mañana? ¿Cómo se mueve el agua en una inundación? La rama de la física que estudia estos fenómenos se conoce como mecánica de fluidos, y atras de ella hay matemáticas. “Las ecuaciones de Navier-Stokes modelizan el movimiento de un fluido que tiene viscosidad y rozamiento y, a partir de unas condiciones iniciales, describen la trayectoria de sus partículas”, sintetiza el investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) Daniel Peralta. Turbulencia avión Lo que no se ha comprobado es si este prototipo tiene siempre solucion ni si esta matemáticamente bien definido. “Aquí entran en videojuego las singularidades, que físicamente se pueden comprender como los torbellinos que se crean en un fluido como el agua”, expone Peralta. “La cuestión es saber si, durante la evolución del fluido, se dan esas singularidades”. Su aparición implica la formación de la llamada turbulencia, como la que se da durante el vuelo de los aviones; una característica que trae de cabeza a los científicos.

La dificultad de su presentación se debe a la no linealidad. “Hay un término no lineal en las ecuaciones que simboliza como se comporta el fluido consigo mismo, como arrastra sus propias partículas. Esa variable es muy complicada”, indica el investigador.

Para resolver el enigma, habría que examinar las ecuaciones sin resolverlas y indicar que las singularidades no aparecen, o hallar un ejemplo que sí las tenga, lo que “podría ser muy difícil o inútil si este no existe”, segun Peralta. Mientras, variaciones de estas ecuaciones se utilizan en meteorología, en la propagación de incendios, para comprender las corrientes marinas e incluso en efectos especiales.

La computación del futuro: el dilema P versus NP (1971)

El dilema P versus NP habla, en sí mismo, de problemas. Más en particular, de los algoritmos que los solucionan. “P simboliza los problemas que tienen un algoritmo que los resuelve rápido, y NP los que tienen un algoritmo que comprueba de forma efectiva que una cierta respuesta es solución”, desgrana el investigador de la Universidad de Toronto Fulgencio López. Fácil de hallar contra sencillo de comprobar.

Por ejemplo, averiguar la password de una caja resistente es un dilema NP: es muy sencillo comprobarlo cuando se tiene la solucion (basta introducir el código), sin embargo es muy lento sacar la clave (hay infinidad de combinaciones posibles).

La pregunta es: ¿P = NP? Un lado de la igualdad esta claro, porque si la solucion se localiza fácilmente, además se comprueba rápido. El otro contenido, que todos los NP además formen parte de P, es lo que queda por demostrar. “Lo mas difícil es definir bien teóricamente qué es un dilema NP, porque se necesita una definición autocontenida”, expone López. Con ese obstáculo se topó el medallista Fields Timothy Gowers, que intentó resolver el enunciado y acabó demostrando que su idea no funcionaba. H El problema de que P coincidiera con NP es que los cimientos de la computación temblarían, como expone López: “Se encontrarían algoritmos eficientes para todo, las claves criptográficas se descifrarían de forma muy sencillo y se acabaría el blockchain”. Adiós seguridad. Pero “si finalmente se demuestra que P es diferente de NP, los informáticos podrán respirar en paz y no cambiaría casi nada”, añade.

Además, “la presentación en sí misma reflejará aspectos profundos sobre el funcionamiento de los algoritmos y sobre cómo serán los computadores del futuro: totalmente diferentes a los de ahora”, predice el investigador.

Física teórica: la existencia de Yang-Mills y del salto de gente (1954)

En este caso, física y matemáticas se unen para describir las interacciones de las partículas. Es lo que se conoce como teoría de Yang-Mills, una generalización de la teoría del electromagnetismo que ha sido esencial para el repaso de la física nuclear. “El reto planteado busca indicar rigurosamente la existencia de esta teoría y del salto de masa”, indica el investigador del ICMAT Óscar García-Prada. ¿Qué salto de gente es ese?

“Detrás de la elección de este enunciado como uno de los 7 problemas del milenio, hay una llamada de interés a los matemáticos”

Aquí chocan dos situaciones: “Las fuerzas nucleares son de corto alcance, y las partículas encargados de esas interacciones débiles (los bosones) tienen masa; mientras que las fuerzas electromagnéticas poderosos cubren distancias mas largas y los fotones que las producen no la tienen”, expone García-Prada. ¿Pueden interaccionar partículas con y sin masa?

Los experimentos y las simulaciones en superordenadores indican que sí existe ese salto, pero Yang-Mills todavía no es compatible. La solucion a este dilema será un paso previo a la teoría de la unificación de la física.

García-Prada cree que, “detrás de la elección de este enunciado como uno de los 7 problemas del milenio, hay una llamada de interés a los matemáticos, para que recordemos que crean falta nuevos resultados para explicar las teorías cuánticas”. De momento, el progreso es pequeño, sin embargo cuando llegue obtendrá largo alcance. “Cualquier solucion conllevará enormes mejoras y dará rigor a la teoría cuántica y a su sustrato matemático. El premio razones ser mucho mayor de un millón de dólares”, bromea el investigador.

De agujeros y lazos: la conjetura de Hodge (1950)

Nuestro 6° dilema del milenio es la conjetura de Hodge. Esta conecta multiples áreas de las matemáticas, como la geometría algebraica, las ecuaciones diferenciales, la geometría diferencial, la topología y la física matemática. Por eso, entenderla y enfrentarla es muy complicado.

En topología, una taza y una rosquilla son la misma cosa porque tienen un único agujero.

El catedrático de la Universidad Complutense de Madrid Vicente Muñoz expone este reto de la forma mas sencilla posible: “En geometría diferencial se estudian variedades diferenciables, que definen cualquier espacio fisico y geométrico curvado. La topología expone como esas variedades se distinguen unas de otras por sus ‘agujeros’. Por ejemplo, un balón no tiene ninguno y una rosquilla tiene uno. ¿Cómo son los agujeros de las variedades complejas, las que se construyen sobre los números complejos? Hay de dos tipos, y la conjetura de Hodge dice que, si esos agujeros son del tipo correcto, se deberían rodear con lazos complejos, es decir, con subvariedades complejas”. Bueno, nadie dijo que esto fuera fácil.

“La mitad de los matemáticos piensa que la conjetura es cierta y, la otra mitad, falsa”, estima el catedrático. “Si fuera verdad, facilitaría las construcciones en matemáticas y tendría implicaciones en física teórica y teoría de números. Pero crean falta nuevas tools y nuevas ideas para llegar a la solución; no estamos mas cerca de resolverlo que hace 50 años”, concluye Muñoz.

Un cosmos de problemas por resolver

Los problemas seleccionados por el Instituto Clay se sacaron de un baúl donde hay varios mas enigmas matemáticos sin solución. La conjetura de Collatz, el dilema inverso de Galois, la conjetura de Goldbach… Pero si continuamos buscando recompensas económicas, logramos detenernos en la conjetura de Beal. Y entre dolares se mueve la cosa, ya que fue el banquero norteamericano Andrew Beal quien la propuso.

La maquinaria matemática que se crea para intentar resolver estos problemas suele ser mas significativo y trascendental que el dilema en sí

Apasionado de las matemáticas, Beal se inspiró en el último teorema de Fermat, jugó con los exponentes de su enunciado y llegó a la próximo conjetura: “Si la ecuación xa+yb=zc, para x, y, z 3 números enteros positivos y a, b, c enteros positivos mayores que dos (no necesariamente iguales), tiene solución, entonces x, y, z tienen algún factor primo común”.

El banquero, frustrado por no hallar la presentación ni un contraejemplo que la negara, ofreció en 1997 una recompensa inicial de 5.000 dolares a quien presentara la solución ante la Sociedad Americana de Mabtemáticas; premio que se fue ampliando año tras año hasta fijarse en 2013 en un millón de dólares. dinero dólares Otra oportunidad para vencer dinero devanándose la cabeza con matemáticas es entretenerse en investigar nuevos números primos. La Fundación Fronteras Electrónicas (EE. UU.) ofrece 150.000 dólares a la 1ª persona que encuentre un numero primo de al menos 100 millones de cifras y 250.000 dolares al que lo halle de 1.000 millones de cifras. Ahora mismo, el récord esta en 23 millones. pizarra El cosmos de las matemáticas es infinito y, en la odisea de su exploración, toda tool es bienvenida. Los maestros coinciden: la maquinaria matemática que se crea para intentar resolver estos problemas abiertos suele ser mas significativo y trascendental que el dilema en sí. Por ejemplo, “el teorema de Fermat no abarca ni un 1% de todo lo que se averiguó durante mas 300 años en teoría de números para poder demostrarlo”, indica Muñoz.

Esos son los problemas importantes, los que dan mas resultados en el acceso que la propia dimensión y el premio final. Si no, que se lo digan a Perelman. Él ya ha ganado su puesto en el olimpo de las matemáticas.

Imágenes | Max Pixel, YassineMrabet, Frances M. Roberts, Takashi Hososhima

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La novedad Un millón de dolares y una plaza en el olimpo de las matemáticas para quien resuelva estos problemas fue publicada originalmente en Xataka por Patricia Ruiz Guevara .


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